MF-1. Capitalización, rentas, préstamos, empréstitos y valores mobiliarios

Un capital financiero es un par (cuantía, fecha). 1.000 € hoy y 1.000 € dentro de un año no son lo mismo: para compararlos se trasladan a una fecha focal (época) con una ley financiera declarada.

La función de acumulación a(t) lleva 1 € del origen a t; su inversa 1/a(t) es el factor de descuento. En compuesta a tipo constante, a(t) = (1+i)^t.

En compuesta la equivalencia no depende de la fecha focal elegida (los factores se multiplican). En simple no es así: hay que fijar el origen y el criterio.

Base de días: actual/365, actual/360, 30/360… La base forma parte de la ley pactada. Con tasa anual y tiempo en meses, en simple se pasa el tiempo a años; en compuesta se busca la tasa mensual equivalente.

Redondeo: se calcula con precisión interna y se redondea al final; si las cuotas van en céntimos, la última se ajusta.

Perspectiva: cambiar de prestatario a prestamista invierte los signos de los flujos, no sus fechas ni importes.

Los intereses no se acumulan al capital: I = C0 · i · t y Ct = C0 (1 + i t); despeje C0 = Ct/(1 + i t).

Los intereses son lineales en el tiempo: duplicar t duplica I (no Ct).

Tantos proporcionales: im = i/m. Un 12 % anual simple equivale a un 1 % mensual simple. No confundir con un 12 % efectivo compuesto.

Uso típico: operaciones a corto plazo (menos de un año), letras, cuentas y descuento de efectos.

Racional (matemático): es la inversa de la capitalización simple; el interés se aplica sobre el efectivo. E = N/(1 + i t); D = N i t/(1 + i t).

Comercial (bancario): el descuento se calcula sobre el nominal. D = N d t; E = N (1 − d t); exige d t < 1.

A igual tanto, el comercial descuenta más que el racional. Equivalencia para un plazo t: d = i/(1 + i t) e i = d/(1 − d t). La relación depende del plazo.

Descuento de efectos: al descuento se suman comisiones (con mínimos) y gastos; el tanto efectivo se calcula con los flujos realmente intercambiados (líquido recibido frente a nominal devuelto).

Sustitución de efectos (descuento comercial, mismo tanto): Σ Nk(1 − d tk) = N(1 − d t). Si N = Σ Nk, sale el vencimiento medio t = Σ Nk tk/Σ Nk (independiente del tanto). Si N es otro, es el vencimiento común. El vencimiento medio no se generaliza a compuesta.

Los intereses se incorporan al capital: Cn = C0 (1+i)^n; C0 = Cn (1+i)^(−n).

Despejes: i = (Cn/C0)^(1/n) − 1; n = ln(Cn/C0)/ln(1+i). Si n no es entero y solo valen períodos completos, se toma el siguiente entero (no se redondea a la baja).

Fracciones de período: convenio exponencial (exponente fraccionario) o mixto (compuesta en los períodos enteros y simple en la fracción, que da algo más).

Descuento racional compuesto: D = N − N(1+i)^(−n). Comercial compuesto: E = N(1 − d)^n, con d = i/(1+i) para tasas del mismo período.

Tipos variables: Cn = C0 · Π(1 + ik). El tanto medio es la media geométrica: (1 + ī)^n = Π(1 + ik). Un −50 % seguido de un +50 % deja el 75 %.

Capitalización continua: Ct = C0 e^(δt); i = e^δ − 1 y δ = ln(1+i).

Nominal j(m): tanto anual convertible m veces. Se divide: im = j(m)/m. Efectivo anual: i = (1 + j(m)/m)^m − 1.

Del efectivo anual al subperíodo se extrae la raíz: im = (1 + i)^(1/m) − 1. Dividir un efectivo anual entre 12 es un error.

Ejemplos: 12 % nominal mensual → 12,6825 % efectivo; 12 % efectivo → 0,948879 % mensual.

TAE: tasa anual que iguala lo que el cliente recibe con lo que paga, incorporando determinados gastos. No es solo anualizar el TIN. Con cuotas mensuales: TAE = (1 + r12)^12 − 1, siendo r12 la TIR mensual.

Coste efectivo frente a tipo contractual: con comisión de apertura, se recibe menos y se devuelve lo mismo, así que el coste supera al tipo pactado.

Tipo real (Fisher): 1 + r = (1 + nominal)/(1 + inflación). La resta nominal − inflación es solo una aproximación.

Una renta es una sucesión de capitales con vencimientos reglados. Clasificación: temporal/perpetua, inmediata/diferida/anticipada, pospagable/prepagable, constante/variable, entera/fraccionada, cierta/aleatoria.

Pospagable de n términos R: VA = R · a(n,i), con a(n,i) = [1 − (1+i)^(−n)]/i, valorado un período antes del primer pago. VF = R · s(n,i), con s(n,i) = [(1+i)^n − 1]/i, en la fecha del último pago.

Relaciones: s(n,i) = a(n,i)(1+i)^n. Si i = 0, ambos factores valen n.

Cálculo del término: R = VA/a(n,i) (préstamos) o R = VF/s(n,i) (fondos). Cálculo de n: logaritmos; si sale no entero, se ajusta el último término.

Las fórmulas sirven para rentas ciertas, de periodicidad y tasa homogéneas; con pagos irregulares se suman flujos descontados.

Prepagable: valor actual y final de la pospagable × (1+i). Ojo: el último pago prepagable vence en n − 1; su VF «en n» ya está un período después.

Diferida k períodos (pagos en k+1, …, k+n): VA = R · a(n,i) · (1+i)^(−k). Si el primer cobro es en el año 3, k = 2.

Anticipada h períodos (se valora h períodos después del último término): V = R · s(n,i) · (1+i)^h.

Perpetua pospagable: VA = R/i; prepagable: R(1+i)/i; diferida: (R/i)(1+i)^(−k). Con i = 0 no converge. No tiene valor final.

Geométrica (Rt = R1(1+g)^(t−1)): VA = R1 [1 − ((1+g)/(1+i))^n]/(i − g); si i = g, VA = n R1/(1+i). Perpetua creciente (i > g): VA = R1/(i − g), con R1 = pago del próximo período.

Aritmética (Rt = R1 + (t−1)h): VA = Σ[R1 + (t−1)h](1+i)^(−t). Forma cerrada pospagable: VA = (R1 + h/i + n h) · a(n,i) − n h/i. h es un aumento absoluto, no un porcentaje.

Fraccionadas: con pagos mensuales se usa el tanto mensual (nominal/12 si el dato es nominal convertible mensualmente, o raíz 12 si es efectivo anual). No se aplica la tasa anual a pagos mensuales como si fueran anuales.

VAN = −I0 + Σ Ft (1+k)^(−t). VAN > 0: el proyecto crea valor a la tasa k.

TIR: tasa que anula el VAN. Puede no ser única si los flujos cambian varias veces de signo.

Proyectos excluyentes: decide el VAN a la tasa coherente; la TIR falla con distinta escala o calendario. La tasa de Fisher (TIR de la diferencia de flujos) marca el punto en que se invierte la preferencia.

Plazo de recuperación (simple o descontado): ignora los flujos posteriores al corte; no sustituye al VAN.

Flujos nominales con tasa nominal; flujos reales con tasa real.

En cada período: interés = capital vivo inicial · i; amortización = cuota − interés; capital vivo final = inicial − amortización. Si la cuota no cubre el interés, hay amortización negativa.

Capital vivo tras k cuotas: prospectivo (valor actual de las cuotas pendientes) o retrospectivo (C(1+i)^k − a·s(k,i)); coinciden.

Francés: cuota constante a = C/a(n,i) = C i/[1 − (1+i)^(−n)]. Al principio más intereses y menos amortización; las amortizaciones crecen en razón (1+i): A(k+1) = A(k)(1+i); A1 = a − C i.

Con revisión del tipo se recalcula la cuota con el capital vivo y el plazo pendiente.

Préstamo alemán (intereses anticipados al tanto d): a = C d/[1 − (1 − d)^n]; en t = 0 se pagan C·d; las amortizaciones crecen en razón 1/(1 − d). Tanto de interés equivalente i = d/(1 − d).

Amortización constante (italiano o lineal): Ak = C/n; los intereses caen con el saldo y la cuota decrece en progresión aritmética de razón −C i/n.

Americano: solo intereses C·i cada período y devolución íntegra al final. Suele acompañarse de un fondo de constitución (otra operación) con aportaciones F = C/s(n,j); el tanto del fondo j no tiene por qué ser el del préstamo i. Coste anual del prestatario: C·i + F.

El fondo no reduce la deuda jurídica hasta que se aplica al reembolso.

Con igual tipo y plazo, los intereses totales son: americano > francés > lineal, porque cuanto más tarde se devuelve el principal, más capital vivo genera intereses.

Carencia parcial (de capital): se pagan los intereses y el capital vivo no se mueve. Carencia total: no se paga nada y, si se pacta, el saldo se capitaliza: C(1+i)^k; las cuotas posteriores se calculan sobre ese saldo, no sobre el nominal inicial.

Amortización anticipada parcial: se resta del capital vivo en la fecha de pago; después, o se mantiene el plazo y baja la cuota, o se mantiene la cuota y baja el plazo (ahorra más intereses). Si el nuevo plazo no es entero, la última cuota se ajusta. Las comisiones se pagan aparte.

Cancelación total: se paga el capital vivo más la comisión pactada.

Coste efectivo / TAE del prestatario: TIR de lo efectivamente recibido (neto de comisiones y gastos iniciales) frente a todos los pagos.

Valor financiero de un préstamo a un tipo de mercado i': V = valor actual de las cuotas pendientes al tipo i'. Achard: V = N + U, con U = (i/i')(C − N), siendo N (nuda propiedad) el valor de las amortizaciones pendientes y U (usufructo) el de los intereses.

Empréstito: préstamo dividido en muchos títulos (obligaciones o bonos). Elementos: número de títulos, nominal, precio de emisión (a la par, bajo la par o sobre la par), cupón, precio de reembolso (prima de reembolso si supera el nominal) y calendario.

Rentabilidad del suscriptor y coste efectivo del emisor: TIR de los flujos de cada uno; difieren si hay gastos que solo soporta una parte.

Amortización por sorteo con anualidad constante: a = N·C/a(n,i). Títulos amortizados: M1 = (a − N·c)/C y M(k+1) = M(k)(1+i). Se redondean a números enteros (por ejemplo, redondeando el acumulado) y la anualidad real varía ligeramente.

Con prima de reembolso (reembolso P > nominal): anualidad = Nk·c + Mk·P; se trabaja con el tanto normalizado i' = c/P: a = N·P/a(n,i'), M(k+1) = M(k)(1+i').

El saldo nominal vivo disminuye con los títulos amortizados y los intereses se calculan sobre él.

Precio en fecha de cupón: P = c·a(n,y) + N(1+y)^(−n). Cupón cero: P = N/(1+y)^n. Si c = y, el bono cotiza a la par; si y sube, el precio baja.

Rentabilidad a vencimiento: TIR de todos los flujos. Rendimiento corriente = cupón/precio (ignora la ganancia o pérdida de reembolso).

Entre fechas de cupón: precio sucio = precio limpio + cupón corrido. El cupón corrido compensa al vendedor por el devengo; no es un ingreso extra para el comprador.

Duración de Macaulay: D = Σ t·VA(Ft)/P. Duración modificada: Dmod = D/(1+y); ΔP/P ≈ −Dmod·Δy. Para cambios amplios aparece la convexidad.

Repo (pacto de recompra): compraventa al contado con una operación inversa futura; rentabilidad (simple, base 360) = (efectivo de recompra/efectivo inicial − 1)·360/días.

El nominal es una cifra societaria, no el valor de mercado. Rendimiento simple de tenencia = (Pf − Pi + dividendos)/Pi; para varios años se calcula la TIR o el equivalente anual (no se divide entre los años).

Descuento de dividendos (Gordon): P0 = D1/(ke − g), con D1 = próximo dividendo y ke > g. PER = precio/beneficio por acción (sin sentido con beneficio nulo o negativo).

Ampliación dineraria: M nuevas por cada N antiguas a precio E. Pex = (N·P + M·E)/(N + M); derecho = P − Pex = (P − E)·M/(N + M). Se necesitan N/M derechos por acción nueva. El accionista no gana ni pierde riqueza teórica.

Operación blanca: vender los derechos justos para suscribir sin poner dinero: n ≤ derechos·d/(E + (N/M)·d).

Liberada (E = 0, con cargo a reservas): Pex = N·P/(N + M). Parcialmente liberada: E = parte del nominal que se desembolsa. Split: más acciones de menor nominal, sin crear riqueza.

Régimen legal (LSC): derecho de preferencia proporcional al nominal (art. 304.1); no existe en absorción, escisión o conversión de obligaciones (art. 304.2); plazo mínimo de un mes desde el anuncio en el BORME (art. 305.2) y de catorce días en cotizadas (art. 503); derechos transmisibles en la anónima (art. 306.2); en el aumento con cargo a reservas de la anónima, la reserva legal solo en lo que exceda del 10 % del capital ya aumentado (art. 303.1).